題目

Suppose \(A_{3\times3}\) has three distinct eigenvalues \(0\), \(1\), \(3\) with corresponding eigenvectors \(\bu\), \(\bv\), \(\bw\). Which of the following statements are true?
（1）The rank of \(A\) must be \(2\).
（2）The matrix \(A^2 - I\) is invertible.
（3）\(\bv\) and \(\bw\) must span the column space of \(A\).
（4）The least-squares error of \(A\bx = 2\bv + 3\bw + \bu\) must be \(\|\bu\|^2\).
—— from 交大資工 100

想法與解法

李翊誠 says

想法

這題綜合了一些特徵值的基本觀念，還有一些先前提過的特性，只要觀念清楚不須動筆計算即可答對。

解法

  1. 答案是 ◯，
  2. 答案是 ✕，
    因為 \(A\) 有完整三個不一樣的特徵值，我們可以將 \(A\) 對角化。
    我們假設，
    \[A = QDQ^{-1} = Q \begin{bmatrix} 0 & & \\ & 1 & \\ & & 3 \end{bmatrix} Q^{-1} \]

    則

    \[Q^{-1}AQ = D = \begin{bmatrix} 0 & & \\ & 1 & \\ & & 3 \end{bmatrix}. \]

    因為 \(Q\) 不改變 \(A\) 的秩，所以 \(A\) 的秩和 \(D\) 一樣為 \(2\)，
    又

    \[A^2 = QDQ^{-1}QDQ^{-1} = QD^2Q^{-1} = Q \begin{bmatrix} 0 & & \\ & 1 & \\ & & 9 \end{bmatrix} Q^{-1} \]

    可見 \(A^2\) 的特徵值為 \(0\)、\(1\)、\(9\)，且由 冪零矩陣特徵值 中的第 2 點，我們得知 \(A^2-I\) 的特徵值即為 \(A^2\) 的特徵值全部減 \(1\)，\(A^2-I\) 的特徵值為 \(-1\)，\(0\)，\(8\)。
    存在特徵值為 \(0\)，則矩陣不為滿秩，也必不存在反矩陣。

  3. 答案是 ◯，
    \(A\) 擁有 \(\bu\)，\(\bv\)，\(\bw\) 三個不同的特徵向量，因此 \(\bu\)，\(\bv\)，\(\bw\) 可做為 \(\mathbb{R}^3\) 一組基底。 則任何 \(\bx\in\mathbb{R}^3\) ，存在 \(c_1\)，\(c_2\)，\(c_3\in\mathbb{R}\) 使得 \(\bx\) 可表示為 \(\bx = c_1\bu+c_2\bv+c_3\bw\)。因此我們可以寫，
    \[A\bx = A(c_1\bu+c_2\bv+c_3\bw) = 0 + 1c_2\bv + 3c_3\bw \in \vspan\{\bv,\bw\}. \]

    可知，\(\{\bv,\bw\}\) 能夠生成出 \(A\) 的行空間。

  4. 答案是 ✕，
    這邊要注意的是， \(\bu\) 和 \(\vspan\{\bv,\bw\}\) 不一定垂直。比如說，任取一組 \(\mathbb{R}^3\) 中的垂直標準基 \(\{\bv, \bw, \bu'\}\)，並令 \(\bu = \bv + \bw + \bu'\)。
    由於垂直標準基的假設，我們知道 \(2\bv+3\bw+\bu = 3\bv+4\bw + \bu'\) 到 \(\{A\bx: \bx\in\mathbb{R}^3\}\) 最接近的點是 \(3\bv + 4\bw\) 而最接近的距離是 \(\|\bu'\| = 1\)。
    而經過直接計算，\(\|\bu'\| = \sqrt{3}\)。
    所以 \(\|\bu\|^2 = 3\) 不見得會是最小平方差 \(\|\bu'\| = 1\)。