題目

Let \(N\) be an \(n\times n\) matrix over \(\mathbb{R}\) or \(\mathbb{C}\), such that \(N^k=0\) for some integer \(k\) . Is \((N+I)\) invertible？ If yes, find its inverse. If not provide the reason why. —— from 台大資工所105

想法與解法

李翊誠 says

想法

矩陣 \(N\) 在一定次方數下，\(N^k\) 會坍縮為零矩陣，這類矩陣其實有一個專屬的名字——冪零矩陣（nilpotent matrix）。有關它的的特性其中最重要的一點，就是冪零矩陣 \(N\) 的特徵值全為 \(0\)，接下來我們先說明原因，再使用這個性質去解題。

解法

  1. 首先我們先說明為什麼冪零矩陣的特徵值全為 \(0\)。 先假設 \(N\) 為一冪零矩陣，並令 \(\lambda\) 為它的一個特徵值。我們可以找到一個特徵向量 \(\bv\) 使得 \(N\bv=\lambda\bv\)。
    對它再多乘一次 \(N\)，即為 \(N^2\bv=\lambda^2\bv\)。
    同理，到次方數來到 \(k\) 時，因為 \(N^k=O\)，所以
    \[\lambda^k\bv = N^k\bv = O\bv = 0\bv. \]

    如此一來 \(\lambda\) 必為 \(0\)。因此我們可以說冪零矩陣的特徵值一定為 \(0\)。

  2. 接下來我們來看 \((N+I)\) 的特徵值。而其實任一個矩陣加上 \(I\) 其意思，也就是將所有 \(N\) 的特徵值加 \(1\)。下面說明為什麼：
    若 \(p(x) = \det(N - xI)\) 為 \(N\) 的特徵多項式，則 \(N + I\) 的特徵多項式為
    \[\det(N + I - xI) = \det(N - (x-1)I) = p(x-1). \]

    若 \(p(x)\) 的根必為 \(0\) ，則 \(p(x-1)\) 的根也只能是 \(0+1\)，也就是 \(1\)。
    因此我們可以知道，\((N+I)\) 的 \(n\) 個特徵值全為 \(1\) ，也就是說 \((N+I)\) 是滿秩的，因此存在逆矩陣 \((N+I)^{-1}\)。

  3. 最後我們試著找出逆矩陣 \((N+I)^{-1}\)。因為 \(N^k = O\) ，所以已知
    \[(N+I)(N+I)^{-1}= I = I \pm N^k. \]

    依照高中的乘法公式，我們知道

    \[(I+N)(I - N + N^2 - \cdots + (-1)^{k-1} N^{k-1}) = (I+(-1)^{k-1}N^k) = I, \]

    所以

    \[(N+I)^{-1} = (I-N+N^2-N^3+\cdots+(-1)^{k-1} N^{k-1}). \]

    若以符號的方式表達，其公式為

    \[\sum\limits_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}N^{k-1}. \]