求特殊矩陣行列式值
題目
Please find the determinant of $A$, where
—— from 台大資工所105
想法與解法
李翊誠 says
想法
我們知道一個矩陣進行一些列運算 (row operation) 之後，行列式值並不會改變，或許我們可以先嘗試一些列運算看能不能化簡。
但其實很明顯 \(A\) 是由一個一般的矩陣加上 \(I\) 所形成的，或許我們能將他們兩個先拆開，再使用矩陣的行列式值和特徵值之關係來幫助解題。
解法
我們先將 \(A\) 拆分為兩個矩陣 \(\hat{A}\) 和 \(I\)，其中
而 \(I\) 是單位矩陣。
已知一方陣的特徵值總和等同於對角線上元素總和，也就是矩陣的跡（trace），一般記作為 \(\tr(A)\)。
因此我們知道 \(\hat{A}\) 的特徵值總和為 \(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\)。且如果我們對 \(\hat{A}\) 進行一些列運算將其他列消去，不難看出 \(\hat{A}\) 的秩為 \(1\)，也就是說 \(\hat{A}\) 僅有一個非零特徵值，而這個特徵值就是 \(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\)
另外，我們在另一篇文章中有提到，將一矩陣 \(A\) 加上單位矩陣 \(I\) 有將矩陣中的每個特徵值都加上 \(1\) 的效果（詳細可見 冪零矩陣特徵值）。
因此我們結合以上兩點，我們可以知道 \(A\) 的特徵值為 \(1+\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\) 和 \(1\)（其中 \(1+\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\) 重數為 \(1\)，\(1\) 重數為 \(n-1\)）。
而又因為所有特徵值的乘積相等於矩陣的行列式值，這邊我們稍微證明一下：
給定一個矩陣 \(A\) 我們假設它的特徵值為 \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)。
我們可以寫出它的特徵多項式 \(p(x) = \det(xI-A)\)。
又特徵值即為特徵多項式的根，可將特徵多項式寫為\[p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n).\]如果將 \(x=0\) 代入則有
\[ \begin{aligned} p(0) & =(0-\lambda_1)(0-\lambda_2)\cdots(0-\lambda_n)=(-1)^n\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \\ & = \det(O-A) = \det(-A) = (-1)^n\det(A). \end{aligned} \]因此所有特徵值的乘積相等於矩陣的行列式值。
所以，我們得出矩陣 \(A\) 的行列式值為 \((1+\sum\limits_{i=1}^{n}x_i)(1)^{n-1} = 1+\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\)。