題目

證明 \(n\) 階行列式值

\[ D_{n}= \begin{vmatrix} x & -1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & -1 \\ a_n & a_{n-1}&a_{n-2}&a_{n-3} &\cdots & x+a_1 \\ \end{vmatrix} =x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}. \]

想法與解法

張書鳴 says

想法

剛看到這一題的時候我剛開始是想向其他題目一樣看可不可以通過不同行或不同列的相加來簡化題目，但後來發現不太容易後決定用數學歸納法來證明這個問題，且我們可以通過對第一行降階來構造出 \((1)\) 式，此題目來源於北京清華教材例題。

解法

由於 \(n=1\) 時，\(D_1=x+a_1\) 滿足題目，因此 \(n=1\) 時成立。

假設 \(n=k\) 時，\(D_k = x^k + a_1x^{k-1}+a_2x^{k-2}+\cdots+a_{k-1}x + a_k\) 成立。觀察此方程式我們可以得到

\[ \begin{equation} D_n=xD_{n-1}+a_n(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}=xD_{n-1}+a_n \end{equation} \]

當 \(n=k+1\) 時，將 \((1)\) 中的 \(n\) 以 \(k+1\) 帶入可得

\[ \begin{aligned} D_{k+1} &= xD_{k}+a_{k+1} \\ &= x(x^k+a_{1}x^{k-1}+a_{2}x^{k-2}+\cdots+a_{k-1}x+a_{k})+a_{k+1} \\ &= x^{k+1}+a_{1}x^{k}+a_{2}x^{k-1}+\cdots+a_{k-1}x^2+a_{k}x+a_{k+1}. \end{aligned} \]

由數學歸納法，得證題目的敘述。