伴隨矩陣的伴隨矩陣及行列式值

題目

Let $A$ be a $n \times n$ nonsingular matrix. Prove that

1. $\det(A\adj) = [\det(A)]^{n-1}$,
2. $[A\adj]\adj = [\det(A)]^{n-2}A$.

想法與解法

張書鳴 says

想法

一看到關於伴隨矩陣 (adjugate matrix) 時，第一個馬上想到的是 $A \cdot A\adj=\det(A) \cdot I$，且看到第一小題中有 $[\det(A)]^{n-1}$，大概就是用這個性質了，果不其然用這個公式就可以推出第一小題的結論。

在看到第二小題的左式時，大概有想法是將第一題用到的公式中的 $A$ 用 $A\adj$ 帶入後，發現第二題跟第一題的又是好像差不多，第二題應該也會用到第一題的結論，於是帶入 $\det(A\adj)=[\det(A)]^{n-1}$ 化簡答案就出來了。

解法

1. 因為 $A$ 為 $n \times n$ 的方陣，且 $A \cdot A\adj=\det(A) \cdot I$，故
   $$\det(A \cdot A\adj)=\det(A\adj) \cdot \det(A)=\det(\det(A) \cdot I)=[\det(A)]^n,$$

   因為 $A$ 可逆，所以 $\det(A) \neq 0$，因此 $\det(A\adj)=[\det(A)]^{n-1}$。

2. 將 $A \cdot A\adj=\det(A) \cdot I$ 中的 $A$ 用 $A\adj$ 帶入可得
   $$A\adj \cdot [A\adj]\adj=\det(A\adj) \ \cdot\ I,$$

   故

   $$[A\adj]\adj=\det(A\adj) \cdot [A\adj]^{-1}.$$

   已知 $A\adj=\det(A) \cdot A^{-1}$，且 $\det(A\adj)=[\det(A)]^{n-1}$。故

   $$[A\adj]\adj =[\det(A)]^{n-1}[\det(A)A^{-1}]^{-1}=[\det(A)]^{n-2}A.$$