題目

Let \(A\) be a \(n \times n\) nonsingular matrix. Prove that

  1. \(\det(A\adj) = [\det(A)]^{n-1}\),
  2. \([A\adj]\adj = [\det(A)]^{n-2}A\).

想法與解法

張書鳴 says

想法

一看到關於伴隨矩陣 (adjugate matrix) 時，第一個馬上想到的是 \(A \cdot A\adj=\det(A) \cdot I\)，且看到第一小題中有 \([\det(A)]^{n-1}\)，大概就是用這個性質了，果不其然用這個公式就可以推出第一小題的結論。

在看到第二小題的左式時，大概有想法是將第一題用到的公式中的 \(A\) 用 \(A\adj\) 帶入後，發現第二題跟第一題的又是好像差不多，第二題應該也會用到第一題的結論，於是帶入 \(\det(A\adj)=[\det(A)]^{n-1}\) 化簡答案就出來了。

解法

  1. 因為 \(A\) 為 \(n \times n\) 的方陣，且 \(A \cdot A\adj=\det(A) \cdot I\)，故
    \[ \det(A \cdot A\adj)=\det(A\adj) \cdot \det(A)=\det(\det(A) \cdot I)=[\det(A)]^n, \]

    因為 \(A\) 可逆，所以 \(\det(A) \neq 0\)，因此 \(\det(A\adj)=[\det(A)]^{n-1}\)。

  2. 將 \(A \cdot A\adj=\det(A) \cdot I\) 中的 \(A\) 用 \(A\adj\) 帶入可得
    \[ A\adj \cdot [A\adj]\adj=\det(A\adj) \ \cdot\ I, \]

    故

    \[ [A\adj]\adj=\det(A\adj) \cdot [A\adj]^{-1}. \]

    已知 \(A\adj=\det(A) \cdot A^{-1}\)，且 \(\det(A\adj)=[\det(A)]^{n-1}\)。故

    \[ [A\adj]\adj =[\det(A)]^{n-1}[\det(A)A^{-1}]^{-1}=[\det(A)]^{n-2}A. \]