題目

If \(A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}\) and \(\tr(ABC)=\tr(CBA)\) for all \(C \in \mathbb{R}^{n \times n}\), prove that \(AB=BA\).

想法與解法

朱立民 says

想法

我們可以由題目得出 \(\tr((AB)C)=\tr((BA)C)\)，由於題目說 \(C\) 可以是任意 \(n \times n\) 的矩陣，所以我們只要讓 \(C=(AB-BA)^{\trans}\)，即可證明 \(AB-BA\) 的每一列都是 \(O\)。

解法

根據題目我們可以得到

\[\tr(ABC)=\tr(CBA)=\tr(BAC). \]

所以我們有

\[\tr((AB)C)-\tr((BA)C)=\tr((AB-BA)C)=0. \]

因為 \(C\) 可以是任意 \(n \times n\) 矩陣， 所以我們取 \(C=(AB-BA)^{\trans}\) 使得

\[\tr((AB-BA)C)=\tr((AB-BA)(AB-BA)^{\trans})=0. \]

這樣我們可以說 \(AB-BA=O\)，也就是 \(AB=BA\)。