題目

Let \(A, B\) be two \(n\times n\) matrix. Prove that if \(AB = A + B\) then \(AB = BA\).

想法與解法

林其璜 says

想法

利用 \((A - I)\) 與 \((B - I)\) 湊出答案。

解法

將 \((A - I)\) 相乘 \((B - I)\)，我們會得到

\[\begin{aligned} (A - I)(B - I) &= AB - A - B + I \\ &= AB - (A + B) + I \\ &= AB - AB + I \\ &= I, \end{aligned} \]

其中第三個等式是因為 \(AB = A + B\)。
由此可知，\((A - I)^{-1} = (B - I)\)，因為 \((A - I)(B - I) = I\)。

接著再將 \((B - I)\) 相乘 \((A - I)\) 相乘，如下

\[\begin{aligned} (B - I)(A - I) &= BA - B - A + I \\ &= BA - (A + B) + I \\ &= BA - AB + I, \end{aligned} \]

其中第三個等式是因為 \(AB = A + B\)。
因此我們得知 \((B - I)(A - I) = AB - BA + I\)，再根據 \((A - I)\) 與 \((B - I)\) 互為反矩陣，我們有 \(I = (B - I)(A - I) = AB - BA + I\)，因此 \(O = AB - BA\)。