同時對角化

題目

Let \(A,B\) be two \(n\times n\) complex matrices such that \(AB=BA\). Suppose \(A\) has \(n\) distinct eigenvalues. Show that \(B\) is diagonalizable.

想法與解法

朱立民 says

想法

我們要做兩件事來證明，第一個是 \(A\) 是可對角化的，再來證明 \(B\) 的特徵向量會屬於 \(A\) 的特徵空間。

解法

首先，因為 \(A\) 是 \(n\times n\) 矩陣且有 \(n\) 個不同的特徵值， 所以對於 \(A\) 所有的特徵值，幾何重數跟代數重數都一樣是 \(1\)， 因此 \(A\) 是可對角化的。
再來令 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\) 為 \(A\) 的特徵值，\(\bv_1,\cdots,\bv_n\) 為對應的特徵向量，因為 \(AB=BA\)， 所以

\[AB\bv_1=BA\bv_1=\lambda_1B\bv_1, \]

根據上式，我們可以知道 \(B\bv_1\) 屬於 \(\lambda_1\) 的特徵空間， 也就是說存在一個複數 \(\alpha_1\) 使得

\[B\bv_1=\alpha_1\bv_1, \]

那麼 \(\bv_1\) 也會是 \(B\) 的一個特徵向量，照著上面的做法， 我們知道 \(\bv_1,\cdots,\bv_n\) 都是 \(B\) 的特徵向量， 因為前面 \(A\) 是可對角化的， 所以 \(\bv_1,\cdots,\bv_n\) 都是線性獨立的， 這樣我們就可以說 \(B\) 是可對角化的。