向量外積的特徵值
題目
Let \(w_i\in\mathbb{R}\), \(1\leq i\leq 4\) and \(A= \begin{bmatrix} w_1w_1 & w_1w_2 & w_1w_3 & w_1w_4 \\ w_2w_1 & w_2w_2 & w_2w_3 & w_2w_4 \\ w_3w_1 & w_3w_2 & w_3w_3 & w_3w_4 \\ w_4w_1 & w_4w_2 & w_4w_3 & w_4w_4 \end{bmatrix}\) with \(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=1\).
- Find all eigenvalues of \(A\) and its algebraic multiplicity.
- Calculate \(\det(I_4-2A)\).
(成大數學 108)
想法與解法
陳泯儒 says
想法
因為 \(A\) 是對稱矩陣而且 \(A=\bv_1\bv_1\trans\)，其中 \(\bv_1=\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{bmatrix}\) 且 \(\|\bv_1\|=1\)，所以我們只要考慮 \(A\) 的譜分解 \(A=\sum_{i=1}^4 \lambda_i \bv_i \bv_i\trans\)，並令 \(\lambda_1=1\) 和 \(\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0\) 即可找出 \(A\) 的特徵值。
因為行列式值會等於所有特徵值的積，所以我們只要利用 \(A\) 的特徵值計算出 \(I_4-2A\) 的特徵值，就可以算出 \(I_4-2A\) 的行列式值。
解法
令 \(\bv_1=\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{bmatrix}\)，則 \(\|\bv_1\|=1\)。
所以我們可以將 \(\{\bv_1\}\) 擴充成一組 \(\mathbb{R}^4\) 中的標準正交基底 \(\{\bv_1,\bv_2,\bv_3,\bv_4\}\)。
令 \(\lambda_1=1\) 和 \(\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0\)，則
其中 \(Q=\begin{bmatrix}
| & | & | & | \\
\bv_1 & \bv_2 & \bv_3 & \bv_4 \\
| & | & | & |
\end{bmatrix}\)
為正交矩陣，\(D=\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_4 \\
\end{bmatrix}\) 為對角矩陣。
所以，\(A\) 的特徵值分別為 \(1,0,0,0\)。
若 \(\lambda\) 為 \(A\) 的一個特徵值，則 \(1-2\lambda\) 為 \(I_4-2A\) 的一個特徵值。
所以，\(I_4-2A\) 的特徵值分別為 \(-1,1,1,1\)，因此