題目

Let \(V=\mathbb{R}^n\) be the space of column vectors, and \(M\) a positive definite symmetric \(n\times n\) real matrix. Suppose the matrix \(A\in M_n(\mathbb{R})\) satisfies \(MAM^{-1}=A\trans\). Show that there exists \(P\in M_n(\mathbb{R})\) satisfying \(P\trans MP=I_n\) such that \(P^{-1}AP\) is diagonal. (台大數學110)

想法與解法

陳泯儒 says

想法

題目要求 \(P\) 要滿足 \(P^{-1}AP\) 為對角矩陣，所以 \(P\) 的每一行必須為 \(A\) 的特徵向量。
而我們要先證明 \(A\) 可以對角化，然後找出一組獨立的 \(A\) 的特徵向量 \(\bv_1,\ldots,\bv_n\) 滿足對於 \(i\neq j\)，\(\left<\bv_i,M\bv_i\right>=1\) 和 \(\left<\bv_i,M\bv_j\right>=0\)，再將這些向量設定為 \(P\) 的行向量，\(P\) 就滿足題目的要求了。

解法

首先，我們先證明 \(A\) 可對角化。
因為 \(M\) 為對稱的正定矩陣，所以 \(M\) 可以寫成

\[M=Q\trans D Q=Q\trans D'\trans D' Q = (D'Q)\trans (D'Q), \]

其中 \(Q\) 為正交矩陣，\(D\) 為對角矩陣且對角線上的元素都是正的，而 \(D'\) 則由將 \(D\) 的對角線元素開根號後所生成。
令 \(B=D'Q\)，也就是說 \(M=B\trans B\)，而 \(B\) 和 \(B\trans\) 都是可逆的。

根據題目的條件，我們可以得到 \(B\trans BA = A\trans B\trans B\)，經過移項後，我們可以得到

\[ BAB^{-1}=(B\trans)^{-1}A\trans B\trans=(B^{-1})\trans A\trans B\trans =(BAB^{-1})\trans , \]

也就是說，\(BAB^{-1}\) 是對稱矩陣且可對角化，所以 \(A\) 可以對角化。
令 \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m\) 為 \(A\) 的相異特徵值和 \(E_1,E_2,\ldots,E_m\) 為對應的特徵子空間。對於 \(i=1,2,\ldots,m\)，令 \(E_i'=\{B\bx \mid \bx\in E_i\}\)。

因為 \(B\) 可逆，所以 \(\dim(E_i)=\dim(E_i')\)。
對於每一個 \(E_i'\)，我們可以找一組標準正交基底 \(\beta_i\)，並令 \(V_i=\{B^{-1}\bx\mid \bx\in\beta_i\}\)，則 \(V_i\) 為 \(E_i\) 的一組基底。
考慮 \(\bigcup_{i=1}^m V_i\) 這組 \(A\) 的特徵向量，稱其為 \(\{\bv_1,\bv_2,\ldots,\bv_n\}\)。

觀察對於每一個 \(j\)，都有 \(\left< \bv_j,M\bv_j\right>=\left< \bv_j,B\trans B\bv_j\right>=\left<B\bv_j,B\bv_j\right>=1\)，因為這邊的 \(B\bv_j\) 是某一個 \(\beta_i\) 裡面的向量。
另外，對於 \(j\neq k\)，我們分兩種情形討論。

  1. 若 \(\bv_j\) 和 \(\bv_k\) 所對應的特徵值相等，則 \(B\bv_j\) 和 \(B\bv_k\) 落在同一個 \(\beta_i\)，所以
    \[\left< \bv_j,M\bv_k\right>=\left< \bv_j,B\trans B\bv_k\right>=\left<B\bv_j,B\bv_k\right>=0. \]
  2. 若 \(\bv_j\) 和 \(\bv_k\) 所對應的特徵值不相等，分別為 \(s\) 和 \(t\)，則
    \[\begin{aligned} s\left<\bv_j,M\bv_k\right>&=\left<s\bv_j,M\bv_k\right>=\left<A\bv_j,M\bv_k\right>\\&= \left<\bv_j,A\trans M\bv_k\right>=\left<\bv_j,MA\bv_k\right>=t\left<\bv_j,M\bv_k\right>, \end{aligned} \]

所以 \(\left< \bv_j,M\bv_k\right>=0\)。

最後，我們只要令 \(P=\begin{bmatrix} | & | & & | \\ \bv_1 & \bv_2 & \cdots &\bv_n \\ | & | & & | \end{bmatrix}\)，就滿足題目的要求了。

另解

根據上面的結論，\(BAB^{-1}\) 是對稱矩陣，因此可以被正交對角化，也就是說，存在正交矩陣 \(U\) 使得 \(U(BAB^{-1})U^{-1}=D\) 為對角矩陣。

令 \(P=B^{-1}U^{-1}\)，則 \(P^{-1}=UB\)，所以 \(P^{-1}AP=D\)。
另外，\(P\trans =(U^{-1})\trans (B^{-1})\trans =(U\trans)\trans (B^{-1})\trans = U(B^{-1})\trans\)，所以

\[ P\trans MP=U(B^{-1})\trans B\trans B B^{-1}U^{-1} = U I_n I_n U^{-1}=I_n. \]

因此，\(P\) 即為滿足題目要求的矩陣。