題目

Let \(A\) be a linear transformation on a finite-dimensional vector space \(V\).
Prove that \(\dim(\ker(A+I))+\dim(\ker(A-I))=\dim(V)\) if and only if \(A^2=I\).

想法與解法

朱立民 says

想法

因為證明左式有 \(A-I\) 和 \(A+I\)，右式有 \(A^2=I\)，那我們利用 \((A-I)(A+I)=A^2-I\) 來證明。

解法

我們先證明左邊到右邊：

假設 \(\dim(\ker(A+I))+\dim(\ker(A-I))=\dim(V)\)。
現在我們有 \((A-I)(A+I)=A^2-I\) 這個式子，所以我們只要說明 \((A+I)(A-I)=O\) 就等於說明 \(A^2=I\)。
因為 \(A+I\) 和 \(A-I\) 都是 \(V\) 送到 \(V\) 的線性映射，所以我們有

\[ \dim(\Col(A+I))+\dim(\ker(A+I))=\dim(V), \]
\[ \dim(\Col(A-I))+\dim(\ker(A-I))=\dim(V). \]

和條件

\[ \dim(\ker(A+I))+\dim(\ker(A-I))=\dim(V) \]

比較之後，得到

\[\begin{aligned} \dim(\ker(A-I)) &= \dim(\Col(A+I)), \\ \dim(\ker(A+I)) &= \dim(\Col(A-I)). \end{aligned} \]

接下來這邊我們證明 \(\ker(A-I)\) 包含於 \(\Col(A+I)\)，
所有 \(\bx\) 屬於 \(\ker(A-I)\)，根據定義，

\[ (A-I)\bx=\bzero, \]

這個式子可以改成

\[ (A+I)\bx=2\bx. \]

因為這個等式右邊的 \(2\bx\) 會是 \(A + I\) 的行向量經過線性組合出來的向量，所以 \(\bx\) 屬於 \(\Col(A+I)\)，也就是說 \(\ker(A-I)\) 包含於 \(\Col(A+I)\)。因為

\[ \begin{aligned} \dim(\ker(A-I)) &= \dim(\Col(A+I)), \\ \ker(A-I) &\subseteq \Col(A+I), \end{aligned} \]

所以

\[ \ker(A-I)=\Col(A+I). \]

因此

\[ (A-I)(A+I)=A^2-I=O. \]

接著證明右邊到左邊：

假設 \(A^2 = I\)。
令 \(\dim(V)=n\) 及 \(\dim(\ker(A-I))=k\)，其中 \(0\le k\le n\)，那我們要做的是證明 \(\dim(\ker(A+I))=n-k\)。
現在我們有

\[ (A+I)(A-I)=0, \]

所以

\[ \ker(A+I) \supseteq \Col(A-I). \]

根據維度定理以及 \(\dim(\ker(A-I))=k\)，我們知道 \(\dim(\Col(A-I)) = n - k\)，因此 \(\dim(\ker(A+I))\ge n-k\)。 又因為對於所有屬於 \(\ker(A-I)\) 且不為零的 \(\bx\)，會有

\[ (A-I)\bx=\bzero, \]

我們將 \(A-I\) 換成 \(A+I\) 會發現

\[ (A+I)\bx=2\bx\neq\bzero, \]

所以 \(\ker(A-I)\cap \ker(A+I)=\{\bzero\}\)。
因為

\[\begin{aligned} n &\geq \dim(\ker(A + I) + \ker(A - I)) \\ &= \dim(\ker(A + I)) + \dim(\ker(A - I)) - \dim(\ker(A + I) \cap \ker(A + I)) \\ &= \dim(\ker(A + I)) + \dim(\ker(A - I)) \\ &\geq (n - k) + k = n, \end{aligned} \]

所以 \(\dim(\ker(A+I))=n-k\)。