對稱矩陣的反矩陣也是對稱

題目

Prove that the inverse of a symmetric invertible matrix is also symmetric.
—— from 交大資聯105

想法與解法

李翊誠 says

想法

一矩陣能夠同時有對稱、可逆等好性質，那麼其實這題應該不會太難，可以直接依據此矩陣的特性寫出等式，或許就能解開了。

解法

我們假設矩陣 \(A\) 是對稱、可逆的。我們可以說 \(A\trans=A\)，且存在一個矩陣 \(A^{-1}\) 使得 \(A^{-1}A=I=AA^{-1}\)。

又因為 \(I\) 的轉置和本身相同，因此們可以觀察

\[ \begin{aligned} I\trans &=(AA^{-1})\trans\\ &=(A^{-1})\trans A\trans\\ &=(A^{-1})\trans A \\ &=I. \end{aligned} \]

反過來也可以得到

\[ \begin{aligned} I\trans &=(A^{-1}A)\trans\\ &=A\trans (A^{-1})\trans\\ &=A(A^{-1})\trans \\ &=I. \end{aligned} \]

從上面的結果，我們得知：

\[ (A^{-1})\trans A = I = A(A^{-1})\trans. \]

這表示 \((A^{-1})\trans\) 也能是 \(A\) 的反矩陣，但根據反矩陣的唯一性，\((A^{-1})\trans\) 和 \(A^{-1}\) 兩者其實相同，也就是

\[ (A^{-1})\trans = A^{-1}. \]

因此，我們可以得證矩陣 \(A\) 的反矩陣 \(A^{-1}\) 也是對稱的。