題目

If

\[\begin{bmatrix}2&1&1&1&1&1\\2&3&2&2&2&2\\3&3&4&3&3&3\\4&4&4&5&4&4\\5&5&5&5&6&5\\6&6&6&6&6&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\end{bmatrix}, \]

find \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6.\)

想法與解法

許峻彥 says

想法

令 \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\)，\(\bx=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\)。
在矩陣乘法中，\(A\bx\) 的第一項會是

\[\sum\limits_{i=1}^na_{1i}x_i=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n. \]

再繼續觀察第二項、第三項後，你會發現與 \(A\) 的第一行都會與 \(x_1\) 相乘。
所以你把 \(A\bx\) 的每一項相加後，會等於 \(A\) 的每一行相加後乘上對應的 \(x_i\) 後再相加的值。

解法

令 \(A=\begin{bmatrix}2&1&1&1&1&1\\2&3&2&2&2&2\\3&3&4&3&3&3\\4&4&4&5&4&4\\5&5&5&5&6&5\\6&6&6&6&6&7\end{bmatrix}\)，\(\bx=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{bmatrix}\)，已知 \(A\bx=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\end{bmatrix}\)。
假設 \(c_i\) 為 \(A\) 的第 \(i\) 行的元素總和，根據上述的想法，我們可以得到

\[(1+2+\cdots+6)=c_1x_1+\cdots+c_6x_6. \]

然後我們可以發現 \(A\) 的每一行和都相等，都等於 \(22\)，所以

\[ \begin{aligned}(1+2+\cdots+6)&=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_6x_6 \\&=22x_1+22x_2+\cdots+22x_6 \\&=22(x_1+x_2+\cdots+x_6). \end{aligned} \]

所以 \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=\frac{(1+2+\cdots+6)}{22}=\frac{21}{22}\)。