題目

Let \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\) be a real symmetric matrix. Show that there exists a real symmetric matrix \(B\) such that \(B^3=A\). (清大數學110)

想法與解法

陳泯儒 says

想法

因為實對稱矩陣一定可以正交對角化，且特徵值皆為實數，而任何實數都具有三次方根，我們可以藉由這個性質建造出滿足題目條件的 \(B\)。

解法

因為 \(A\) 是實對稱矩陣，所以可以將 \(A\) 正交對角化，也就是 \(A=QDQ\trans\)，其中 \(Q\) 為正交矩陣， \(D=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{bmatrix}\) 為對角矩陣，且對於所有 \(i\)，\(\lambda_i\) 皆為實數。

令 \(D'=\begin{bmatrix} \sqrt[3]{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sqrt[3]{\lambda_2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \sqrt[3]{\lambda_n} \end{bmatrix}\) 和 \(B=QD'Q\trans\)。
則

\[B^3=(QD'Q\trans)^3=(QD'Q^{-1})^3=QD'^3Q^{-1}=QDQ\trans=A, \]

而且

\[B\trans=(QD'Q\trans)\trans=QD'\trans Q\trans=QD'Q\trans=B. \]

因此，\(B\) 即為滿足題目要求的矩陣。