題目

Let \(T : V \longrightarrow W\) be a linear transformation, and \(V, W\) have finite dimension. Show that there exists a matrix representation of \(T\).

想法與解法

林其璜 says

想法

首先，我們要先知道線性變換的定義，如下

令 \(V, W\) 為兩向量空間，若函數 \(T : V \longrightarrow W\) 具有以下性質

\[\begin{cases} T(\bu + \bv) = T(\bu) + T(\bv)\\ T(a \bu) = a T(\bu) \end{cases} \]

則稱 \(T\) 為一線性變換。

因為一般的向量空間是抽象的，因此我們無法直接寫出矩陣，必須要透過兩組有序基底（ordered basis），分別將 \(V\) 和 \(W\) 的元素刻劃出來，我們才有辦法寫出矩陣表達式。

透過基底，我們可以將 \(V, W\) 內的元素用 \(\mathbb{R}^n\) 上的向量表示出來，這樣一來我們就可以帶入單位向量來幫助我們找出 \(T\) 所對應的矩陣，最後我們只需要驗證此矩陣與 \(T\) 代表了相同的變換。

解法

令 \(\dim(V) = n\) 及 \(\dim(W) = m\)，因為 \(V, W\) 是向量空間，所以存在基底 \(\mathfrak{B}_1\) 和 \(\mathfrak{B}_2\) 使得 \(\vspan(\mathfrak{B}_1) = V\) 且 \(\vspan(\mathfrak{B}_2) = W\)。

令 \(\mathfrak{B}_1 = \{\beta_1, \beta_2,\ \dots, \beta_n\}\)，則我們知道 \([\beta_i]_{\mathfrak{B}_1} = \be_i\) 也就是分別對應到 \(\mathbb{R}^n\) 上的標準基底，還記得要找出矩陣的行向量，我們可以利用標準基底來做，例如 \(A\be_1\) 就是 \(A\) 的第一個行向量，因此在這邊我們也可以利用相同的概念找出 \(T\) 所對應的矩陣的行向量。

因為 \([\beta_1]_{\mathfrak{B}_1} = \be_1\)，所以 \(T(\beta_1)\) 實際上就對應了 \(A\be_1\) 這個動作，此時我們需要使用 \(\mathfrak{B}_2\) 來表現 \(T(\beta_1)\)，也就是 \([T(\beta_1)]_{\mathfrak{B}_2}\)，此時我們令 \(A = [T]_{\mathfrak{B}_1}^{\mathfrak{B}_2}\)，則我們可以將 \(A\) 寫成以下形式

\[A = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ [T(\beta_1)]_{\mathfrak{B}_2} & [T(\beta_2)]_{\mathfrak{B}_2} & \cdots & [T(\beta_n)]_{\mathfrak{B}_2} \\ | & | & & | \end{bmatrix}. \]

找到 \(A\) 之後，我們接著證明 \(A\) 真的代表了 \(T\) 這個線性變換，只要證明對於所有 \(V\) 中的元素 \(\bv\)，有 \(A[\bv]_{\mathfrak{B}_1} = [T(\bv)]_{\mathfrak{B}_2}\) 即可。

對於任意 \(V\) 中的元素 \(\bv\)，可以寫成以下表示法 \([\bv]_{\mathfrak{B}_1} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}\)，則根據線性變換的定義，我們有以下

\[\begin{aligned} A[\bv]_{\mathfrak{B}_1} &= \begin{bmatrix} | & | & & | \\ [T(\beta_1)]_{\mathfrak{B}_2} & [T(\beta_2)]_{\mathfrak{B}_2} & \cdots & [T(\beta_n)]_{\mathfrak{B}_2} \\ | & | & & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \\ &= \sum_{i = 1}^{n}v_i[T(\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= \sum_{i = 1}^{n}[v_iT(\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= \sum_{i = 1}^{n}[T(v_i\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= [T(\sum_{i = 1}^{n}v_i\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= [T(\bv)]_{\mathfrak{B}_2}. \end{aligned} \]

到此我們證明了對於任意兩個有限維的線性空間之間的線性變換 \(T\)，都具有其對應的矩陣表示法。