線性變換與矩陣的對應

題目

Let $T : V \longrightarrow W$ be a linear transformation, and $V, W$ have finite dimension. Show that there exists a matrix representation of $T$.

想法與解法

林其璜 says

想法

首先，我們要先知道線性變換的定義，如下

令 $V, W$ 為兩向量空間，若函數 $T : V \longrightarrow W$ 具有以下性質

$$\begin{cases} T(\bu + \bv) = T(\bu) + T(\bv)\\ T(a \bu) = a T(\bu) \end{cases}$$

則稱 $T$ 為一線性變換。

因為一般的向量空間是抽象的，因此我們無法直接寫出矩陣，必須要透過兩組有序基底（ordered basis），分別將 $V$ 和 $W$ 的元素刻劃出來，我們才有辦法寫出矩陣表達式。

透過基底，我們可以將 $V, W$ 內的元素用 $\mathbb{R}^n$ 上的向量表示出來，這樣一來我們就可以帶入單位向量來幫助我們找出 $T$ 所對應的矩陣，最後我們只需要驗證此矩陣與 $T$ 代表了相同的變換。

解法

令 $\dim(V) = n$ 及 $\dim(W) = m$，因為 $V, W$ 是向量空間，所以存在基底 $\mathfrak{B}_1$ 和 $\mathfrak{B}_2$ 使得 $\vspan(\mathfrak{B}_1) = V$ 且 $\vspan(\mathfrak{B}_2) = W$。

令 $\mathfrak{B}_1 = \{\beta_1, \beta_2,\ \dots, \beta_n\}$，則我們知道 $[\beta_i]_{\mathfrak{B}_1} = \be_i$ 也就是分別對應到 $\mathbb{R}^n$ 上的標準基底，還記得要找出矩陣的行向量，我們可以利用標準基底來做，例如 $A\be_1$ 就是 $A$ 的第一個行向量，因此在這邊我們也可以利用相同的概念找出 $T$ 所對應的矩陣的行向量。

因為 $[\beta_1]_{\mathfrak{B}_1} = \be_1$，所以 $T(\beta_1)$ 實際上就對應了 $A\be_1$ 這個動作，此時我們需要使用 $\mathfrak{B}_2$ 來表現 $T(\beta_1)$，也就是 $[T(\beta_1)]_{\mathfrak{B}_2}$，此時我們令 $A = [T]_{\mathfrak{B}_1}^{\mathfrak{B}_2}$，則我們可以將 $A$ 寫成以下形式

$$A = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ [T(\beta_1)]_{\mathfrak{B}_2} & [T(\beta_2)]_{\mathfrak{B}_2} & \cdots & [T(\beta_n)]_{\mathfrak{B}_2} \\ | & | & & | \end{bmatrix}.$$

找到 $A$ 之後，我們接著證明 $A$ 真的代表了 $T$ 這個線性變換，只要證明對於所有 $V$ 中的元素 $\bv$，有 $A[\bv]_{\mathfrak{B}_1} = [T(\bv)]_{\mathfrak{B}_2}$ 即可。

對於任意 $V$ 中的元素 $\bv$，可以寫成以下表示法 $[\bv]_{\mathfrak{B}_1} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$，則根據線性變換的定義，我們有以下

$$\begin{aligned} A[\bv]_{\mathfrak{B}_1} &= \begin{bmatrix} | & | & & | \\ [T(\beta_1)]_{\mathfrak{B}_2} & [T(\beta_2)]_{\mathfrak{B}_2} & \cdots & [T(\beta_n)]_{\mathfrak{B}_2} \\ | & | & & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \\ &= \sum_{i = 1}^{n}v_i[T(\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= \sum_{i = 1}^{n}[v_iT(\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= \sum_{i = 1}^{n}[T(v_i\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= [T(\sum_{i = 1}^{n}v_i\beta_i)]_{\mathfrak{B}_2} \\ &= [T(\bv)]_{\mathfrak{B}_2}. \end{aligned}$$

到此我們證明了對於任意兩個有限維的線性空間之間的線性變換 $T$，都具有其對應的矩陣表示法。