題目

Let \(A=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\). Find all value of the angle \(\theta\) for which the matrix \(A\) has real eigenvalues.

想法與解法

許峻彥 says

想法

因為 \(A\) 的特徵多項式的解，就是 \(A\) 的特徵值，所以先找出 \(A\) 的特徵多項式。

解法

因為 \(A=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)，所以 \(A\) 的特徵多項式為

\[ \begin{aligned} \det(A-xI)&=\det\left(\begin{bmatrix}\cos\theta-x&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta-x\end{bmatrix}\right)\\&=(\cos\theta-x)^2-(-\sin\theta)(\sin\theta)\\&=x^2-2\cos\theta x+\sin^2\theta\\&=x^2-2\cos\theta x+1. \end{aligned} \]

根據公式解，可以得到

\[ \begin{aligned} x&=\frac{2\cos\theta\pm\sqrt{4\cos^2\theta-4}}{2} \\&=\frac{2\cos\theta\pm\sqrt{4(\cos^2\theta-1)}}{2} \\&=\frac{2\cos\theta\pm2 i\sin\theta}{2} \\&=\cos\theta\pm i\sin\theta. \end{aligned} \]

由於題目要求 \(\cos\theta\pm i\sin\theta\) 要是實數，所以 \(\sin\theta\) 應該為 \(0\)。
所以當 \(\theta=n\pi,n\in\mathbb{Z}\) 時，\(\sin\theta\) 為 \(0\)，\(A\) 具有實數特徵值。