題目

Let \(A\) be a \(n \times n\) real matrix. Prove that

\[\rank(A^2)-\rank(A^3) \leq \rank(A)-\rank(A^2). \]

(台大數學109)

想法與解法

陳泯儒 says

想法

因為秩（rank）等於行空間的維度，因此我們可以藉由觀察 \(A,A^2,A^3\) 的行空間來解這個問題。
而從 \(A\) 的行空間變成 \(A^2\) 的行空間是經過一次矩陣 \(A\) 的變換，在這個變換的過程中可能會有一些向量變得沒用（可由其他向量組成），同理從 \(A^2\) 的行空間變成 \(A^3\) 的行空間也是如此，而我們要觀察的也就是這些變得沒用的向量的維度，又因為 \(A^2\) 的行空間比 \(A\) 的行空間小，因此變得沒用的向量也會比較少。

解法

對於 \(i=1,2,3\)，令 \(E_i=\{A^i\bx\mid \bx\in\mathbb{R}^n\}\)，也就是說 \(E_i\) 為 \(A^i\) 的行空間。

首先，我們可以證明 \(E_3 \subseteq E_2 \subseteq E_1\)。
因為 \(E_2=\{A(A\bx)\mid \bx\in\mathbb{R}^n\}\)，而且對於任何 \(\bx\in\mathbb{R}^n\)，都有 \(A\bx\in\mathbb{R}^n\)，因此 \(E_2\subseteq E_1\)。
同理，\(E_3=\{A^2(A\bx)\mid \bx\in\mathbb{R}^n\}\)，所以 \(E_3 \subseteq E_2\)。

令 \(B_2\) 為 \(E_2\) 的一組基底，我們可以將 \(B_2\) 擴充成 \(B_1\) 為一組 \(E_1\) 的基底。
令 \(C=\{A\bb\mid \bb\in B_2\}\) 和 \(C'=\{A\bb\mid \bb\in B_1\}\)，則 \(C\subseteq C'\)。這裡我們把 \(C\) 和 \(C'\) 視作是允許重覆元素的重集（multiset），則 \(|C|=|B_2|\) 且 \(|C'|=|B_1|\)。

因為 \(E_3=\vspan(C)\)，所以可以找到 \(B_3\subseteq C\) 使得 \(B_3\) 為 \(E_3\) 的一組基底，令 \(\Lambda=C\setminus B_3\)，則

\[\rank(A^2)-\rank(A^3)=|B_2|-|B_3|=|C|-|B_3|=|\Lambda|, \]

而且所有 \(\Lambda\) 中的元素都可以寫成 \(B_3\) 的元素的線性組合。
由於 \(B_3=(C\setminus\Lambda) \subseteq (C'\setminus\Lambda)\)，因此所有 \(\Lambda\) 中的元素都可以寫成 \((C'\setminus\Lambda)\) 的元素的線性組合。
另外，因為 \(E_2=\vspan(C')=\vspan(C'\setminus\Lambda)\)，因此 \(\dim(E_2)\leq |C'\setminus\Lambda|\)，則

\[\rank(A)-\rank(A^2)=|B_1|-\dim(E_2)=|C'|-\dim(E_2)\geq |C'|-|C'\setminus\Lambda|=|\Lambda|, \]

所以

\[\rank(A^2)-\rank(A^3) \leq \rank(A)-\rank(A^2). \]