題目

For some \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), prove that \(\nul(A) = \nul(A\trans A)\), where \(\nul(A)\) means the nullspace of \(A\) .

想法與解法

李翊誠 says

想法

如果我們能夠證明 \(\nul(A)\supseteq \nul(A\trans A)\) 且 \(\nul(A)\subseteq \nul(A\trans A)\) 那就相當於證明了 \(\nul(A) = \nul(A\trans A)\) 。

解法

  1. 我們先證明 \(\nul(A)\supseteq \nul(A\trans A)\) 這個方向。
    首先，我們任取一個向量 \(\bx \in \nul(A\trans A)\)；也就是說 \(A\trans A\bx = \bzero\)。
    再來我們假設 \(\ba_1,\ldots,\ba_n\) 為 \(A\) 的各行向量，並令 \(\by = A\bx\)。
    如此， \(\by\) 還可以寫作
    \[\by = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\ba_i, \]

    其中 \(x_i\) 指的是 \(\bx\) 的第 \(i\) 個元素。
    另一方面，

    \[A\trans A\bx = A\trans\by = \begin{bmatrix} — & \ba_1 & — \\ — & \ba_2 & — \\ & \vdots & \\ — & \ba_n & — \\ \end{bmatrix}\by =\bzero. \]

    可以看出對於每一個 \(\ba_i\) 都有 \(\ba_i\trans\by = 0\)，也就是 \(\by\trans\ba_i = 0\)。
    加上上面提到的關係式，我們可以計算

    \[\by\trans\by=\by\trans\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\ba_i=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\by\trans\ba_i=0. \]

    （這邊因為 \(x_i\) 是純量，我們可以把 \(\by\trans\) 提入，又因為已知 \(\by\trans\cdot\ba_i = 0\)，所以整體結果為 \(0\)。）
    因為 \(\by\) 和自己的內積為 \(0\) ，那麼 \(\by\) 只能夠是零向量 \(\bzero\) ，所以 \(\by = A\bx = \bzero\)。
    也就是說 \(\bx\in\nul(A)\)。
    而任何在 \(\nul(A\trans A)\) 中的 \(\bx\) ，都有 \(\bx\in\nul(A)\)，因此可得 \(\nul(A)\supseteq \nul(A\trans A)\) 。

  2. 接著我們證明 \(\nul(A)\subseteq \nul(A\trans A)\) 這個方向，這個方向就很直觀了。
    任取一個 \(\bx\in\nul(A)\)，也就是說 \(A\bx = \bzero\)。可直接看出
    \[A\trans A\bx=A\trans \bzero = \bzero. \]

    也就是說 \(\bx\in\nul(A\trans A)\)。
    同理可得 \(\nul(A)\subseteq \nul(A\trans A)\)。

結合 1、2 點我們就得出了 \(\nul(A)= \nul(A\trans A)\)。