題目
Let \(\bu = (2,1,0), \bv = (3,0,2), \bw = (0,-2,3)\). Suppose \(T\) is a linear operator on \(\mathbb{R}^3\) that interchanges \(\bu\) and \(\bv\), and maps \(\bw\) to \((1,0,0)\). Find the matrix representation \([T]_{\beta}\) of \(T\) with respect to the standard basis \(\beta = \{e_1,e_2,e_3\}\).
想法與解法
朱立民 says
想法
根據題目敘述，因為 \(T\) 在基底為 \(\gamma=\{\bu,\bv,\bw\}\) 下的矩陣表示法比較容易，所以我們先求出 \([T]_{\gamma}\) 再利用換底公式求出 \([T]_{\beta}\)。
解法
先令 \(\gamma=\{\bu,\bv,\bw\}\)。
因為題目在描述 \(T\) 時，大部分都是以 \(\bu,\bv,\bw\) 這些向量作為表達方法，這樣求 \([T]_{\gamma}\) 會比較輕鬆，之後再用換底公式將 \([T]_{\beta}\) 求出來。
那首先求 \([T]_\gamma\)，我們有
\[\begin{aligned}
T(\bu) &= \bv, \\
T(\bv) &= \bu, \\
T(\bw) &= (1,0,0) = (-4)\bu+3\bv+(-2)\bw.
\end{aligned}
\]
那在基底 \(\gamma\) 下，有
\[\begin{aligned}
[T]_{\gamma}[\bu]_{\gamma} &= [T]_{\gamma}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} =[\bv]_\gamma= \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\\
[T]_{\gamma}[\bv]_\gamma &= [T]_{\gamma}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=[\bu]_\gamma=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\\
[T]_{\gamma}[\bw]_\gamma &= [T]_{\gamma}\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}_\gamma=\begin{bmatrix}-4\\3\\-2\end{bmatrix}.\end{aligned}
\]
那我們就可以知道
\[[T]_\gamma=\begin{bmatrix}
0 & 1 &-4\\
1 & 3 & 3\\
0 & 0 &-2\end{bmatrix}.\]
再來使用換底公式，我們先看這張圖：
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{R}^3_{\gamma} & \xrightarrow{[T]_\gamma} & \mathbb{R}^3_\gamma \\
[I]_{\beta}^\gamma\uparrow & & \downarrow[I]_\gamma^\beta \\
\mathbb{R}^3_{\beta} & \xrightarrow{[T]_\beta} & \mathbb{R}^3_\beta
\end{array}
\]
從這張圖看如果一個屬於 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量 \(\bx\)，如果要將 \([\bx]_\beta\) 經過 \(T\) 線性轉換後還是以 \(\beta\) 為基底來表示， 也就是說從這張圖的左下角送到右下角，那我們有兩條路，一個是直接使用 \([T]_\beta\) 送過去，另一個則是要依序使用 \([I]_\beta^\gamma,[T]_\gamma,[I]_\gamma^\beta\) 才能送過去，由此可知
\[[T]_\beta=[I]_\gamma^\beta[T]_\gamma[I]_\beta^\gamma,
\]
這個就是我們的換底公式。那我們又知道
\[[I]_\gamma^\beta=
\begin{bmatrix}
| & | & | \\
\beta_{1} & \beta_{2} & \beta_{3}\\
| & | & | \\
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
| & | & | \\
\gamma_{1} & \gamma_{2} & \gamma_{3}\\
| & | & | \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 0\\
1 & 0 & -2\\
0 & 2 & 3\end{bmatrix}.
\]
而且 \([I]_\gamma^\beta\) 的反矩陣就是 \([I]_\beta^\gamma\)，最後
\[\begin{aligned}
[T]_\beta&=[I]_\gamma^\beta[T]_\gamma[I]_\beta^\gamma\\
&=[I]_\gamma^\beta[T]_\gamma([I]_\gamma^\beta)^{-1}\\
&=\begin{bmatrix}
2 & 3 & 0\\
1 & 0 & -2\\
0 & 2 & 3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 &-4\\
1 & 3 & 3\\
0 & 0 &-2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-4 & 9 & 6 \\
3 & -6 & -4\\
-2 & 4 & 3\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
-8 & 19 & 13 \\
3 & -6 & -4 \\
-8 & 18 & 12\end{bmatrix}.\end{aligned}\]