用特徵值大小判斷矩陣是否可逆

題目

Show that \(I-A\) is invertible when all the eigenvalus of \(A\) are less than \(1\) in magnitude.

想法與解法

許峻彥 says

想法

如果 \(\alpha\) 是一個矩陣 \(A\) 的其中一個特徵值，則 \(\det(A-\alpha I)=0\)。

解法

因為 \(A\) 的所有特徵值皆小於 \(1\)，所以 \(1\) 並不是 \(A\) 的特徵值。
所以 \(\det(A-I)\neq0\)。
因為 \((I-A)=-1(A-I)\)，所以

\[\det(I-A)=(-1)^n\det(A-I),\]

而無論 \(n\) 是多少，\(\det(I-A)\) 皆不等於 \(0\)。
所以 \(I-A\) 可逆。