題目

Let \(\delta ：M_{2\times2}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}\) be a function, such that \(\delta(AB)=\delta(A)\delta(B)\) for all \(A,B\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\). Suppose also that \(\delta\left(\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)\neq \delta\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}\right)\).

  1. Prove that \(\delta\left(\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\right)=0\).
  2. Prove that \(\delta(B)=-\delta(A)\) if \(B\) is obtained by interchanging the row of A.

想法與解法

許峻彥 says

想法

  1. 這個函數具有 \(\delta(AB)=\delta(A)\delta(B)\) 這個性質，所以可以從這方面下手。
  2. 因為 \(B\) 是 \(A\) 做了列交換所得到的，所以 \(B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}A\)。

解法

  1. 對於任何的矩陣 \(X\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\)，都有 \(OX = O\)（這裡的 \(O\) 是指一個 \(2\times2\) 的零矩陣）。根據題目敘述，該函數有 \(\delta(AB)=\delta(A)\delta(B)\) 這個性質，所以 \(\delta(O)=\delta(O)\delta(X)\)。
    對任意 \(X\in M_{2\times2}\)，假設 \(\delta(O) =a\neq 0\)，則 \(a = a\times \delta(X)\)，所以我們可以得到對於任意 \(X\in M_{2\times2}\)，\(\delta(X)=1\)。
    但是根據題目 \(\delta\left(\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)\neq \delta\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}\right)\)，所以矛盾。
    所以 \(\delta(O) = 0\)。
  2. 已知 \(\delta(I)=\delta(I^2)=\delta(I)^2\)，所以 \(\delta(I)\) 只有可能是 \(0\) 或 \(1\)。
    因為 \(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}^2\)，所以
    \[\delta\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)= \delta\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}^2\right). \]

    因為 \(\delta(AB)=\delta(A)\delta(B)\)，所以

    \[\delta\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)= \delta\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right)^2, \]

    如果 \(\delta\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\right) = 0\) 則 \(\delta\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right) = 0\)，和題目假設兩者函數值不同的條件矛盾。
    如果 \(\delta\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\right) = 0\)，則 \(\delta\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right) = \pm 1\)。因為兩者函數值不同，所以唯一的可能就是 \(\delta\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)=1\)，而 \(\delta\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right)=-1\)。
    因為 \(B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}A\)，所以 \(\delta(B)=-\delta(A)\)。