題目

Let \(A\) be an \(n \times n\) matrix with characteristic polynomial

\[p_{A}(x) = (-1)^nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_1x + c_0.\]

Show that the value of \(\tr(A)\) is \((-1)^{n-1}c_{n-1}\).

想法與解法

朱立民 says

想法

因為 \(p_A(x) = \det(A-xI)\) ，所以我們需要算出 \(A - xI\) 的行列式並從行列式中求出 \((-x)^{n-1}\) 的係數。

證明

這次的題目我們只要證明下面的敘述就可以得證：

對任何 \(n\times n\) 矩陣 \(M\)，其特徵多項式 \(p_M(x) = \det(M - xI)\) 為一 \(n\) 次多項式，其 \((-x)^n\) 項係數為 \(1\)，其 \((-x)^{n-1}\) 項係數為 \(\tr(M)\)。

這個證明我們用歸納法來證。
首先當 \(n = 1\)：
我們令

\[M = \begin{bmatrix} m \end{bmatrix}, \]

因此

\[M - xI = \begin{bmatrix} m-x \end{bmatrix}. \]

我們得到 \(\det(M-xI) = m - x = 1(-x)^1 + m(-x)^0\)，即 \((-x)^1\) 的係數為 \(1\)，\((-x)^0\) 的係數為 \(m = \tr(M)\)，這個敘述在 \(n = 1\) 是對的。

當 \(n = 2\)：
我們令

\[M = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12}\\ m_{21} & m_{22} \end{bmatrix},\]

因此

\[M - xI = \begin{bmatrix} m_{11}-x & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}-x\\ \end{bmatrix}. \]

我們得到

\[\begin{aligned} \det(M-xI) &= (m_{11}-x)(m_{22}-x) - m_{12}m_{21}\\ &= x^2 -(m_{11} + m_{22})x + m_{11}m_{22} - m_{12}m_{21}\\ &= (-x)^2 + (m_{11}+m_{22})(-x) + (m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21})(-x)^0. \end{aligned} \]

即 \((-x)^2\) 的係數為 \(1\)，\((-x)^1\) 的係數為 \(m_{11} + m_{22} = \tr(M)\)，這個敘述在 \(n = 2\) 是對的。

我們假設這個敘述在 \(n = k-1\) 是對的。

當 \(n = k\)：
我們令

\[M=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & \cdots & m_{1k}\\ m_{21} & m_{22} & \cdots & m_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ m_{k1} & m{k2} & \cdots &m_{nk} \end{bmatrix}. \]

則

\[B = M-xI = \begin{bmatrix} m_{11}-x & m_{12} & \cdots & m_{1k}\\ m_{21} & m_{22}-x & \cdots & m_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{k1} & m_{k2} & \cdots & m_{kk}-x \end{bmatrix}. \]

令 \(b_{ij}\) 為 \(B\) 矩陣的 \(i,j\)-項，而 \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(B_{ij})\)，其中 \(B_{ij}\) 為 \(B\) 扣掉第 \(i\) 列和第 \(j\) 行的矩陣。
接下來我們使用高階行列式的降階得 \(\det(B)=\sum_{j=1}^k b_{1j} C_{1j}\)。
根據算式我們可以想像 \(\det(B)\) 就是拿第一列的每一項 \(b_{1j}\) 去乘上扣掉第一行與第 \(j\) 列的矩陣行列式，最後各自乘上 \((-1)^{i+j}\) 並全部加起來。

觀察 \(B_{12}\) 矩陣：

\[B_{12} = \begin{bmatrix} m_{21} & m_{23} & \cdots & m_{2k}\\ m_{31} & m_{33}-x & \cdots & m_{3k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{k1} & m_{k3} & \cdots & m_{kk}-x \end{bmatrix} \]

我們發現這個矩陣只有 \(k-2\) 個 \(x\)，又因為 \(b_{12}\) 是常數沒有 \(x\) ，所以 \(b_{12}C_{12}\) 多項式次數最高為 \(k-2\)。因為我們只需要找 \((-x)^{k-1}\) 和 \((-x)^k\) 的係數，所以在 \(M\) 的降階展開式中不需要考慮 \(b_{12}\) 那一項。接著觀察 \(B_{13}\) 到 \(B_{1k}\)，跟 \(B_{12}\) 一樣多項式次數最高就是 \(k-2\)，所以我們只需要考慮 \(b_{11}C_{11}\) 的 \((-x)^{k-1}\) 和 \((-x)^k\) 的係數。

觀察 \(B_{11}\) 矩陣：

\[B_{11} = \begin{bmatrix} m_{22}-x & m_{23} & \cdots & m_{2k}\\ m_{32} & m_{33}-x & \cdots & m_{3k}\\ \vdots & \vdots &\vdots & \vdots\\ m_{k2} & m_{k3} & \cdots & m_{kk}-x \end{bmatrix} \]

發現這個矩陣剛好就是 \(k-1 \times k-1\) 的特徵矩陣，由於前面假設在此情況下會符合敘述內容：

\[ \det(B_{11}) = d_{k-1}(-x)^{k-1}+d_{k-2}(-x)^{k-2}+\cdots+d_1(-x)+d_0. \]

其中 \(d_{k-1} = 1\)，\(d_{k-2} = \tr(B_{11})\)。

因此我們如果要算 \((-x)^{k}\) 的係數，我們只能挑 \(b_{11}\) 的 \(-x\) 和 \(\det(B_{11})\) 的 \((-x)^{k-1}\) 項相乘，得到 \((-x)^k\) 的係數為

\[d_{k-1} = 1.\]

那如果要算 \((-x)^{k-1}\) 的係數，我們需要挑 \(b_{11}\) 的 \(m_{11}\) 和 \(\det(B_{11})\) 的 \((-x)^{k-1}\) 項相乘再來挑\(b_{11}\) 的 \(-x\) 和 \(\det(B_{11})\) 的 \((-x)^{k-2}\) 項相乘，如此一來 \(p_M(x)\) 的 \((-x)^{n-1}\) 項係數為

\[ \begin{aligned} m_{11}d_{n-1}+d_{n-2} &= m_{11}+\tr(B_{11}+xI) \\ &= m_{11}+(m_{22}+\cdots+m_{kk}) = \tr(M). \end{aligned} \]

這樣我們證明在 \(n=k\) 時特徵矩陣 \(M\) 的行列展開式中 \((-x)^k\) 的係數為 \(1\)，\((-x)^{k-1}\) 的係數為 \(\tr(M)\)。 如此歸納法證完敘述。