題目

Which \(L\) is a linear transformation?

  1. Let \(L(X)=X+\begin{bmatrix} 1\\4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix},X\in \mathbb{R}^{2\times4}.\)
  2. Let \(L(A)=A-A\trans,A\in \mathbb{R}^{n\times n}.\)
  3. Let \(L(\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &x_3 \end{bmatrix}\trans)=x_1+\sqrt{2}x_2-x_3.\)
  4. Let \(L\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ 1\end{bmatrix}.\)
  5. None of the above is linear.

想法與解法

許峻彥 says

想法

假設 \(V\) 及 \(V'\) 為二個分佈於 \(F\) 的向量空間，\(T\) 是一個從 \(V\) 打到 \(V'\) 的函數，
若此函數滿足：
　（a）對於任何的 \(\bu,\bv\in V\)，皆滿足 \(T(\bu+\bv)= T(\bu)+T(\bv)\)
　（b）對於任何的 \(\alpha\in F\)，皆滿足 \(T(\alpha \bv) = \alpha T(\bv)\)
則可以稱此函數為線性（linear）。
用以上的方法可以明確的檢驗一個函數是否為線性，但是這題總共有四個函數，如果逐個檢查實在是有些太麻煩了。所以有一個技巧是我們可以使用的， 如果一個函數是線性的，那麼其必定符合

\[T(\bzero) = \bzero.\]

所以我們可以利用此特性來快速的判斷。

解法

  1. 考慮函數 \(L(X)=X+\begin{bmatrix} 1\\4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}\)，將 \(X\) 以 \(\bzero\) 帶入（這裡的 \(\bzero\) 是一個 \(2\times 4\) 的零矩陣），可以得到
    \[ L(\bzero) = \bzero + \begin{bmatrix} 1\\4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\4&4&4&4\end{bmatrix}, \]

    因為 \(\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\4&4&4&4\end{bmatrix}\neq 0\)，所以 \(L\) 不為線性轉換。

  2. 考慮函數 \(L(A)=A-A\trans\)，將 \(A\) 以 \(\bzero\) 帶入，可以得到 \(L(\bzero)=\bzero-\bzero\trans=0\)，雖然 \(L(\bzero)=\bzero\)，但是無法保證該函數為線性轉換，所以仍然需要檢驗一下。
    對於所有的 \(\alpha,\beta\in\mathbb{R},A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}\)，可以驗證
    \[ \begin{aligned}L(\alpha A+\beta B)&=(\alpha A+\beta B)-(\alpha A+\beta B)\trans \\&=(\alpha A+\beta B)-(\alpha A\trans+\beta B\trans) \\&=\alpha(A-A\trans)+\beta(B-B\trans)\\&=\alpha L(A)+\beta L(B).\end{aligned} \]

    所以 \(L\) 為線性轉換。

  3. 明顯地 \(L(\bzero) = \bzero\)，所以在這就不多做檢驗。 對於所有的 \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}, x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\)，可以驗證
    \[ \begin{aligned}L(\alpha x + \beta y)&=L\left(\begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta y_1\\\alpha x_2+\beta y_2\\\alpha x_3+\beta y_3\end{bmatrix}\right)\\ &=(\alpha x_1+\beta y_1)+\sqrt2(\alpha x_2+\beta y_2)-(\alpha x_3 + \beta y_3)\\ &=(\alpha x_1 + \sqrt2\alpha x_2 - \alpha x_3)+(\beta y_1 + \sqrt2\beta y_2-\beta y_3)\\ &=\alpha(x_1+\sqrt2x_2-x_3)+\beta(y_1+\sqrt2y_2-y_3)\\ &=\alpha L \left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\right)+ \beta L \left(\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}\right)\\ &=\alpha L(x)+\beta L(y).\end{aligned} \]

    所以 \(L\) 為線性轉換。

  4. 考慮函數 \(L\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ 1\end{bmatrix}\)，將 \(x_1,x_2\) 以 \(\bzero\) 帶入，可以得到
    \[ L\left(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}, \]

    所以 \(L\) 不為線性轉換。

所以答案為 2 和 3。