題目
Find a \(QR\) factorization of matrix \(A =
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
2 & -4 & 2 \\
4 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\).
想法與解法
林其璜 says
想法
可以利用 Gram–Schmidt 正交化的方法來找到一個矩陣的 \(QR\) 分解，相關的概念和符號請見小品區的 理解 QR 分解 一文。
解法
令
\[A =
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
2 & -4 & 2 \\
4 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
| & | & | \\
\ba_1 & \ba_2 & \ba_3 \\
| & | & | \\
\end{bmatrix},\]
我們對 \(\{\ba_1, \ba_2, \ba_3\}\) 進行 Gram–Schmidt 正交化。
這裡在計算的時候可以把內積的值先記下來，這樣後面要排成矩陣時就不需要重新算了，但是寫起來可能會有點亂，因為有些 \(r_{ij}\) 在計算 \(\beta_{j}\) 之前就要先計算了，有些要使用 \(\beta_{j}\) 的結果來求得。
第一步
\[
\begin{aligned}
\beta_1 &= \ba_1 =
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
2 \\
4
\end{bmatrix} \\
r_{11} &= \lVert \beta_1 \rVert = 5 \\
\bq_1 &= \frac{\beta_1}{\lVert \beta_1 \rVert} = \frac{\beta_1}{r_{11}} =
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
2 \\
4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
第二步
\[
\begin{aligned}
r_{12} &= \langle \ba_2, \bq_1 \rangle = \frac{1}{5} \cdot
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
-4 \\
0
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
2 \\
4
\end{bmatrix} = -2\\
\beta_2 &= \ba_2 - r_{12} \cdot \bq_1 =
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
-4 \\
0
\end{bmatrix} +
\frac{2}{5}\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
2 \\
4
\end{bmatrix} =
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
-8 \\
4 \\
-16 \\
8
\end{bmatrix} \\
r_{22} &= \lVert \beta_2 \rVert = 4 \\
\bq_2 &= \frac{\beta_2}{\lVert \beta_2 \rVert} = \frac{\beta_2}{r_{22}} =
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
-4 \\
2
\end{bmatrix} \\[0.3cm]
\end{aligned}
\]
第三步
\[
\begin{aligned}
r_{13} &= \langle \ba_3, \bq_1 \rangle = \frac{1}{5} \cdot
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
2 \\
4
\end{bmatrix} = 1 \\
r_{23} &= \langle \ba_3, \bq_2 \rangle = \frac{1}{5} \cdot
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
-4 \\
2
\end{bmatrix} = -1 \\
\beta_3 &= \ba_3 - r_{13} \cdot \bq_1 - r_{23} \cdot \bq_2 =
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix} -
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
2 \\
4
\end{bmatrix} +
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
-4 \\
2
\end{bmatrix} =
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
-8 \\
4 \\
4 \\
-2
\end{bmatrix} \\
r_{33} &= \lVert \beta_3 \rVert = 2 \\
\bq_3 &= \frac{\beta_3}{\lVert \beta_3 \rVert} = \frac{\beta_3}{r_{33}} =
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
-4 \\
2 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
接下來，因為 \(A\) 為 \(4\times 3\) 矩陣，所以我們只剩下 \(\bq_4\) 要找，這樣 \(\{\bq_1, \bq_2, \bq_3, \bq_4\}\) 才會形成 \(\mathbb{R}^4\) 中的一組標準正交基。
我們利用 \(\vspan(\{\bq_4\}) = \ker(A^\top)\) 來求 \(\bq_4\)，先將 \(A^\top\) 經由高斯消去法轉變成列階梯形矩陣如下：
\[
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
-2 & 0 & -4 & 0 \\
-1 & 1 & 2 & 0
\end{bmatrix} \to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
0 & 4 & 0 & 8 \\
0 & 3 & 4 & 4
\end{bmatrix} \to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 3 & 4 & 4
\end{bmatrix} \\ \to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 4 & -2
\end{bmatrix} \to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & \frac{-1}{2}
\end{bmatrix} = \hat{A}
\]
接著求解線性方程組 \(\hat{A}\bx = \bzero\)，也就是
\[
\hat{A}\bx =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & \frac{-1}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
w
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}.\]
令自由變數 \(w = 1\)，我們可以解出 \(\begin{cases}
x = -1 \\
y = -2 \\
z = \frac{1}{2} \\
w = 1
\end{cases}\) 為一組解；令 \(\beta_4 =
\begin{bmatrix}
-1 \\
-2 \\
\frac{1}{2} \\
1
\end{bmatrix}\)，\(\bq_4 = \frac{\beta_4}{\lVert \beta_4 \rVert} =
\frac{1}{5}\begin{bmatrix}
-2 \\
-4 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}\)
即得到 \(\{\bq_1, \bq_2, \bq_3, \bq_4\}\)。
最後我們將結果排成矩陣
\[
\begin{aligned}
A_{4\times 3} = Q_{4\times 4}
\begin{bmatrix}
R_{3\times 3} \\
0_{1\times 3}
\end{bmatrix} = \
&\begin{bmatrix}
| & | & | & | \\
\bq_1 & \bq_2 & \bq_3 & \bq_4 \\
| & | & | & | \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13} \\
0 & r_{22} & r_{23} \\
0 & 0 & r_{33} \\ \hdashline
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix} \\ = \
&\begin{bmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & \frac{-4}{5} & \frac{2}{5} \\
\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\
\frac{2}{5} & \frac{-4}{5} & \frac{2}{5} & \frac{-1}{5} \\
\frac{4}{5} & \frac{2}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-2}{5}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5 & -2 & 1 \\
0 & 4 & -1 \\
0 & 0 & 2 \\ \hdashline
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
即為答案。
（畫虛線只是方便理解，可以不用加。）