題目

Let \(V\) be a finite dimensional vector space and let \(W\) be a subspace of \(V\). Show that the dimension of the quotient space \(V/W\) is \(\dim(V) - \dim(W)\).

想法與解法

朱立民 says

想法

題目要我們證明 \(V/W\) 的維度，那我們就需要找出 \(V/W\) 的一組基底，並證明這些基底剛好就是 \(\dim(V)-\dim(W)\) 個。

證明

我們先定義 \([\bv] = \bv + W\)，因此 \(V/W = \{[\bv] \mid \bv \in W\}\)。
假設 \(\dim(V) = k\)、\(\dim(W) = r\)、並假設 \(W\) 的基底為 \(\{\bw_{1}, \cdots ,\bw_{r}\}\)。
因為 \(W\) 是 \(V\) 的子空間，所以我們可以將 \(V\) 的其中一組基底訂為 \(\{\bw_{1},\ldots,\bw_{r},\bv_{1},\ldots,\bv_{k-r}\}\)。
若 \(\bv \in W\) ，因為空間的加法封閉性，所以對於任意的 \(\bw \in W\) 都有 \(\bv + \bw \in W\)，再加上不同的 \(\bw\) 得到的 \(\bv+ \bw\) 值也會不相同（這可以用加法反元素證），那我們可以由此得出

\[[\bv] = \bv + W = W = \bzero + W = [\bzero].\]

接下來我們證明 \(S = \{ [\bv_{1}],\ldots,[\bv_{k-r}]\}\) 是 \(V/W\) 的一組基底。
首先，要證 \(S\) 是不是 \(V/W\) 的一組基底我們需要證明兩個事情，一個是這個基底能不能生成 \(V/W\) 這個空間，另一個則要說明 \(S\) 是線性獨立的，有了這兩件事我們才可以說 \(S\) 是 \(V/W\) 的一組基底。

生成：
對於所有的 \(\bv \in V\)，都可以找到 \(c_{1},\ldots,c_{k}\) 使得

\[c_{1}\bw_{1}+\cdots+c_{r}\bw_{r}+c_{r+1}\bv_{1}+\cdots+c_{k}\bv_{k-r} = \bv.\]

因為商空間具有對於所有 \(\bx,\by \in V\) 及 \(k \in \mathbb{R}\) ， 都有 \([\bx] + [\by] = [\bx+\by]\) 和 \([k\bx] = k[\bx]\) 這兩個性質，所以

\[\begin{aligned}\ [\bv] &= [c_{1}\bw_{1}+\cdots+c_{r}\bw_{r}+c_{r+1}\bv_{1}+\cdots+c_{k}\bv_{k-r}]\\ &=[c_{1}\bw_{1}+\cdots+c_{r}\bw_{r}] + [c_{r+1}\bv_{1}+\cdots+c_{k}\bv_{k-r}]\\ &=[\bzero] + [c_{r+1}\bv_{1}+\cdots+c_{k}\bv_{k-r}]\\ &=c_{r+1}[\bv_{1}]+\cdots+c_{k}[\bv_{k-r}]. \end{aligned}\]

因為這個論證中的 \(\bv\) 可以是任何 \(\bv \in V\)，所以 \(S\) 可以生成所有 \(V\) 中的向量。

線性獨立：
假設有一組係數 \(c_{1},\ldots,c_{k-r}\) 使得 \(c_{1}[\bv_{1}]+\cdots+c_{k-r}[\bv_{k-r}] = [\bzero]\)。
根據商空間的性質，我們知道

\[\begin{aligned} c_{1}[\bv_{1}]+\cdots+c_{k-r}[\bv_{k-r}] &= [c_{1}\bv_{1}+\cdots+c_{k-r}\bv_{k-r}]\\ &= [\bzero] \end{aligned}.\]

因為前面證過 \([\bzero]\) 是 \(W\) 空間，所以 \(c_{1}\bv_{1}+\cdots+c_{k-r}\bv_{k-r} \in W\)， 又因為 \(\{\bw_1,\ldots,\bw_r\}\) 是 \(W\) 的一組基底，我們可以找到一些係數 \(d_1,\ldots,d_r\) 使得

\[ c_{1}\bv_1 + \cdots + c_{k-r}\bv_{k-r} = d_1\bw_1 + \cdots + d_r\bw_r. \]

如此一來，

\[ d_1\bw_1 + \cdots + d_r\bw_r - c_{1}\bv_1 - \cdots - c_{k-r}\bv_{k-r} = \bzero. \]

然而因為 \(\{\bw_1,\ldots,\bw_r,\bv_1,\ldots,\bv_{k-r}\}\) 是一組基底，所以 \(d_1 = \cdots = d_r = c_1 = \cdots = c_{k-r} = 0\)。
這樣我們得到 \(c_{1}[\bv_{1}]+\cdots+c_{k-r}[\bv_{k-r}] = [\bzero]\) 有唯一解 \(c_{1}=\cdots=c_{k-r} = 0\)。 因此，我們可以說 \(S\) 是線性獨立的。

因為 \(S\) 是 \(V/W\) 的一組基底 且 \(|S| = k-r = \dim(V) - \dim(W)\)，所以 \(V/W\) 的維度是 \(\dim(V)-\dim(W)\)。