題目

Let \(\{\bx_1,\bx_2,\bx_3\}\) be linearly independent (LID) vectors in \(\mathbb{R}^n\). Determind and explain whether the following vector sets are LID.

  1. \(\by_1 = \bx_1+\bx_2\), \(\by_2 = \bx_2+\bx_3\), and \(\by_3 = \bx_3+\bx_1\)
  2. \(\bz_1 = \bx_2-\bx_1\), \(\bz_2 = \bx_3-\bx_2\), and \(\bz_3 = \bx_3-\bx_1\)

—from交大資聯105

想法與解法

李翊誠 says

想法

首先，我們要先知道線性獨立的基本定義，如果一個向量集合 \(\{\bv_1,\bv_2,\bv_3\}\) 中的向量是線性獨立的，那麼假設係數 \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\) 使得 \(c_1\bv_1+c_2\bv_2+c_3\bv_3=0\)， 則唯一能讓等式成立的只有 \(c_1=c_2=c_3=0\) 。

解法

  1. 假設我們有三係數 \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) 使得 \(d_1\by_1+d_2\by_2+d_3\by_3=0\) ，將 \(\bx_i\) 帶入得
    \[d_1(\bx_1+\bx_2)+d_2(\bx_2+\bx_3)+d_3(\bx_3+\bx_1)=0.\]

    整理一下會變成

    \[(d_1+d_3)\bx_1+(d_1+d_2)\bx_2+(d_2+d_3)\bx_3=0.\]

    因為已知向量 \(\{\bx_1,\bx_2,\bx_3\}\) 是線性獨立的，所以由現在的係數可知

    \[(d_1+d_3)=(d_1+d_2)=(d_2+d_3)=0,\]

    而符合這些等式的唯一解是 \(d_1=d_2=d_3=0\)。
    由此可知， \(\{\by_1,\by_2,\by_3\}\) 是線性獨立的。

  2. 同理，假設我們有三係數 \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) 使得 \(e_1\bz_1+e_2\bz_2+e_3\bz_3=0\) ，將 \(\bx_i\) 帶入得可得
    \[e_1(\bx_2-\bx_1)+e_2(\bx_3-\bx_2)+e_3(\bx_3-\bx_1)=0.\]

    整理過後得到

    \[(-e_1-e_3)\bx_1+(e_1-e_2)\bx_2+(e_2+e_3)\bx_3=0.\]

    因為已知向量 \(\{\bx_1,\bx_2,\bx_3\}\) 是線性獨立的，所以由現在的係數可知：

    \[(-e_1-e_3)=(e_1-e_2)=(e_2+e_3)=0\]

    如此我們發現方程式有非零解，比如說 \(e_1 = -1\)，\(e_2 = -1\)，\(e_3 = 1\) ，因此 \(\{\bz_1, \bz_2, \bz_3\}\) 就不是線性獨立的。
    實際上我們可以解出無限多組非零解。我們考慮方程組

    \[\left\{\begin{array}{rrrl} -e_1 & & -e_3 & = 0, \\ e_1 & -e_2 & & = 0, \\ &e_2 & +e_3 & = 0, \end{array}\right.\]

    其將其化簡一下得到

    \[\left\{\begin{array}{rrrl} -e_1 & & -e_3 & = 0, \\ & e_2 & +e_3 & = 0. \end{array}\right. \]

    我們有 \(e_3\) 為自由變數，設 \(e_3=t\) 可以求出對任何 \(t\in\mathbb{R}\) 來說

    \[\left\{\begin{aligned} e_1 &= -t, \\ e_2 &= -t, \\ e_3 &= t, \end{aligned}\right. \]

    都是解。 因為有無限多組非零解，我們再次看到 \(\{\bz_1, \bz_2, \bz_3\}\) 不是線性獨立。