AB 與 BA 的特徵值

題目

If \(B\) is the invertible, prove that \(AB\) has the same eigenvalue as \(BA\).

想法與解法

許峻彥 says

想法

這就代表 \(\det(AB-\lambda I)\) 和 \(\det(BA-\lambda I)\) 都是以 \(\lambda\) 為變數相同的多項式。

解法

已知 \(\det(AB-\lambda I)\) 和 \(\det(BA-\lambda I)\) 分別為矩陣 \(AB\) 與 \(BA\) 的特徵值多項式；
另一方面，對任意方陣 \(X,Y\)，都有 \(\det(XY)=\det(X)\det(Y)\)。

因為 \(B\) 可逆，所以 \(B^{-1}\) 存在，且 \(\det(B^{-1})\neq 0\)。
在兩多項式的左右分別乘上 \(\det(B^{-1})\)，我們可以得到

\[\det(AB-\lambda I)\det(B^{-1})=\det(A-\lambda B^{-1})=\det(B^{-1})\det(BA-\lambda I).\]

因為 \(\det(B^{-1})\neq 0\)，所以對任意 \(\lambda\) 來說都有 \(\det(AB-\lambda I)=\det(BA-\lambda I)\)， 所以 \(AB\) 跟 \(BA\) 有相同的特徵值。