馬可夫矩陣的特徵值包含 1
題目
(是非題)–from交大資聯106
【 】A Markov matrix must have an eigenvalue \(\lambda =1\).
想法與解法
李翊誠 says
想法
不知道各位馬可夫矩陣還記得多少，或許在上大學之後就很少碰過它了，但在高中時大家一定都接觸過，當時的題目內容通常會是在計算每年有幾 % 的人移出至 A 城市，有多少人移至 B 城市。而它就是作為其中的轉移矩陣，其特點為每一行的元素和都為 \(1\)。
解法
首先，這題的答案是 ◯。因為每一行的元素和都為 \(1\)，所以 \(M-I\) 可以透過一些列運算（把第一列除外的每一列加到第一列），輕易看出行列式值為 \(0\)。由此可知 \(M - I\) 的核數不為 \(0\)，因此 \(1\) 是 \(M\) 的特徵值。
接下來我們就以一個 \(3\times 3\) 的馬可夫矩陣 \(M\) 來說明為什麼。
我們先令
\[M=\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13}\\
m_{21} & m_{22} & m_{23}\\
m_{31} & m_{32} & m_{33}
\end{bmatrix}\]
為一馬可夫矩陣。如此可以得到，
\[M-I=
\begin{bmatrix}
m_{11}-1&m_{12}&m_{13}\\
m_{21}&m_{22}-1&m_{23}\\
m_{31}&m_{32}&m_{33}-1
\end{bmatrix}.\]
經過一些列運算將第二列和第三列都加到第一列後，因為所有列之中元素和都為 \(1\)，列運算的結果為
\[\begin{bmatrix}
0&0&0\\
m_{21}&m_{22}-1&m_{23}\\
m_{31}&m_{32}&m_{33}-1
\end{bmatrix},\]
其第一列的元素全為 \(0\)。如此一來，\(\det(M-I) = 0\) 表示 \(M-I\) 的核數不為 \(0\)，因此存在一個非零向量 \(\bx\) 使得
\[(M-I)\bx = \bzero.\]
而 \(\bx\) 正是對應到特徵值 \(1\) 的特徵向量，因為
\[M\bx = \bx.\]
所以每一行的元素和都為 \(1\) 的這個特點，必定有特徵值為 \(1\)。