題目
In the vector space \(\mathbb{R}^3\), what is the axis of rotation, and the angle of rotation, of the transformation that takes vector \((x_1,x_2,x_3)\trans\) into vector \((x_2,x_3,x_1)\trans\)? Find the matrix that represents this transformation.
想法與解法
林其璜 says
想法
第一個軸很好找。考慮變換 \(T((x_1,x_2,x_3)\trans) = (x_2,x_3,x_1)\)。如果 \(T\) 是旋轉，旋轉軸上的向量不會改變，解 \(T((x_1,x_2,x_3)\trans) = (x_1,x_2,x_3)\trans\) 得到 \((x_1,x_2,x_3)\trans = k\cdot\bone\)，其中 \(\bone\) 是三維的全 \(1\) 向量。令 \(\bu_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\bone\)。在跟 \(\bone\) 垂直的二維空間中找到兩根長度為一且互相垂直的向量 \(\bu_1,\bu_2\)。
接著想像 \(\beta = \{\bu_1,\bu_2,\bu_3\}\) 分別是新的 \(x,y,z\) 軸。如此一來，我們就可以將變換 \(T\) 的矩陣表示法寫成
\[[T]_\beta=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}.\]
解法
首先先解 \(T((x_1,x_2,x_3)\trans) = (x_2,x_3,x_1)\)，寫成聯立方程式 \(\begin{cases}
x_1 = x_2 \\
x_2 = x_3 \\
x_3 = x_1 \\
\end{cases}\)，得到 \(x_1=x_2=x_3\)，因此旋轉軸為 \(k\cdot\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}\) 其中 \(k\) 為任意非 \(0\) 實數，我們取單位向量，令 \(\bu_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}\)。
接下來我們隨便挑兩個與 \(\bu_3\) 互相垂直的單位向量 \(\bu_1, \bu_2\)，令 \(\bu_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
\end{bmatrix}\)，最後我們可以通過外積求得 \(\bu_2\)，令 \(\bu_2=\bu_1\times\bu_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}\)。
如此選出的 \(\beta = \{\bu_1,\bu_2,\bu_3\}\) 為 \(\mathbb{R}^3\) 中的一組垂直基底，且每根向量都是單位長。
不難驗證
\[\begin{cases}
T(\bx + \by) = T(\bx) + T(\by) \\
T(a\bx) = aT(\bx)
\end{cases}\]
所以 \(T\) 確實是一個線性變換。
因此我們可以計算 \(T\) 對基底 \(\beta\) 的矩陣表示法 \([T]_\beta\)：
假設 \(T(\bu_1) = c_1\bu_1 + c_2\bu_2 + c_3\bu_3\)。
因為 \(\beta\) 是一組單範正交基底（彼此相互垂直且長度為 \(1\)），
\[\begin{aligned}
c_1 &= T(\bu_1) \cdot \bu_1 =
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} = -\frac{1}{2}, \\
c_2 &= T(\bu_1) \cdot \bu_2 =
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \\
c_3 &= T(\bu_1) \cdot \bu_3 =
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} = 0.\\
\end{aligned}
\]
同樣地我們可以算出 \(T(\bu_2) = c_1\bu_1 + c_2\bu_2 + c_3\bu_3\)，其中
\[\begin{aligned}
c_1 &= T(\bu_2) \cdot \bu_1 =
\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \\
c_2 &= T(\bu_2) \cdot \bu_2 =
\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix} = -\frac{1}{2}, \\
c_3 &= T(\bu_2) \cdot \bu_3 =
\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} = 0;\\
\end{aligned}
\]
及 \(T(\bu_3) = c_1\bu_1 + c_2\bu_2 + c_3\bu_3\)
\[\begin{aligned}
c_1 &= T(\bu_3) \cdot \bu_1 =
\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} = 0, \\
c_2 &= T(\bu_3) \cdot \bu_2 =
\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix} = 0, \\
c_3 &= T(\bu_3) \cdot \bu_3 =
\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} = 1.\\
\end{aligned}
\]
如此一來我們知道
\[[T]_\beta = \begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\]
具有以下形式
\[\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix},\]
因此 \(T\) 是一個以 \(\bu_3\) 為旋轉軸的矩陣，且旋轉角為 \(\theta = \frac{2\pi}{3}\)。
最後我們也可以計算
\[\begin{bmatrix}
\mid & \mid & \mid \\
\bu_1 & \bu_2 & \bu_3 \\
\mid & \mid & \mid \\
\end{bmatrix}
[T]_\beta
\begin{bmatrix}
— & \bu_1\trans & — \\
— & \bu_2\trans & — \\
— & \bu_3\trans & — \\
\end{bmatrix},\]
將 \([T]_\beta\) 轉換成在標準基底 \(B\) 下的矩陣表示法
\[[T]_B=
\begin{bmatrix}
0 & \frac{-2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\
\frac{-2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.\]