題目

Let \(L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) be a linear transformation.
Assume

\[L(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}) = \begin{bmatrix}3\\0\\1\end{bmatrix} \text{ and } L(\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}) = \begin{bmatrix}5\\1\\3\end{bmatrix}.\]

In addition, let

\[B_{1} = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\3\\\end{bmatrix}\right\}, B_{2} = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}, \text{ and } B_{3} = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}5\\1\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\0\\1\end{bmatrix}\right\}\]

so that \(B_1\) is an ordered basis of \(\mathbb{R}^2\), and \(B_2\) and \(B_3\) are ordered bases of \(\mathbb{R}^3\).

  1. Find the matrix representation of \(L\) with respect to the bases of \(B_{1}\) and \(B_{3}\).
  2. Find the (coordinate) transition matrix from the basis \(B_{2}\) to the basis \(B_{3}\).
  3. Solve \(L(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}) \text{ and } L(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}).\)

想法與解法

朱立民 says

想法

  1. 要我們求出 \([L]_{B_1}^{B_3}\)，也就是要我們算出 \(L\) 相對於基底 \(B_{1}\) 到基底 \(B_{3}\) 的矩陣表示法。我們可以把給定的條件先翻譯成向量表示法再來計算。

  2. 要我們求出 \(B_{2}\) 到 \(B_{3}\) 的換底矩陣，那可以直接帶入換底公式。 先令 \(B_{2} = \left\{ \bv_1, \bv_{2}, \bv_{3} \right\}\) 以及 \(B_{3} = \left\{ \bw_{1}, \bw_{2}, \bw_{3} \right\}\)，則公式為：

    \[[I]_{B_{2}}^{B_{3}} = \begin{bmatrix} | & | & | \\ \bw_{1} & \bw_{2} & \bw_{3}\\ | & | & | \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} | & | & | \\ \bv_{1} & \bv_{2} & \bv_{3}\\ | & | & | \\ \end{bmatrix}.\]
  3. 因為 \(L\) 是線性的所以我們可以將 \(L(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix})\) 和 \(L(\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix})\) 作線性組合得出 \(L(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix})\) 和 \(L(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix})\)。

解法

  1. 首先 \([L]_{B_{1}}^{B_{3}}\) 會乘一個 \(2\times1\) 的矩陣得到一個 \(3\times1\) 的矩陣， 由此可知 \([L]_{B_{1}}^{B_{3}}\) 是一個 \(3\times2\) 的矩陣。
    因為

    \[L(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}) = \begin{bmatrix}3\\0\\1\end{bmatrix},\]

    我們將 \(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}3\\0\\1\end{bmatrix}\) 分別用 \(B_{1}\) 和 \(B_{3}\) 寫成其向量表示法，如此可以得到

    \[[L]_{B_{1}}^{B_{3}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}_{B_{1}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}_{B_{3}}.\]

    同時也可以看出 \([L]_{B_{1}}^{B_{3}}\) 的第一行是\(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)。
    接下來可以藉由這個方法得出 \([L]_{B_{1}}^{B_{3}}\) 第二行， 將 \(\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}5\\1\\3\end{bmatrix}\) 分別用 \(B_{1}\) 和 \(B_{3}\) 寫成向量表示法可以得到

    \[[L]_{B_{1}}^{B_{3}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}_{B_{1}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}_{B_{3}}.\]

    所以 \([L]_{B_{1}}^{B_{3}}\) 的第二行是 \(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\)。最後得出

    \[[L]_{B_{1}}^{B_{3}} = \begin{bmatrix}0&0\\0&1\\1&0 \end{bmatrix}.\]

  2. 使用換底公式並代入數字得

    \[\begin{aligned}{} [I]_{B_{2}}^{B_{3}} &= \begin{bmatrix}1&5&3\\0&1&0\\0&3&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1&4&-3\\0&1&0\\0&-3&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1&4&-3\\0&1&0\\0&-3&1\end{bmatrix}. \end{aligned}\]

  3. 將 \(L(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix})\) 和 \(L(\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix})\) 作線性組合得出

    \[L(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}) = 2\cdot L(\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}) - 3\cdot L(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}) = \begin{bmatrix}10\\2\\6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}9\\0\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\]

    及

    \[L(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}) =2\cdot L(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}) - 1\cdot L(\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}) = \begin{bmatrix}6\\0\\2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}5\\1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}.\]