題目

Let $A$ and $B$ be two $m\times n$ matrices such that
\(\bx\trans A\by = \bx\trans B\by\) for any column vectors $\bx\in\mathbb{R}^m$ and $\by\in\mathbb{R}^n$.
Show that $A = B$.

想法與解法

Jephian Lin says

想法

因為 $\bx$ 和 $\by$ 有無窮多個，不如就挑幾個代入看看吧。
比如說當 $\bx = (1,0,\ldots, 0)\trans\in\mathbb{R}^m$ 且 $\by = (1,0,\ldots, 0)\trans\in\mathbb{R}^n$ 時，我們就得到
\(\bx\trans A\by = \bx\trans B\by\) 分別是 $A$ 和 $B$ 的第 $1,1$-項，而它們相等。
用同樣的手法就可以證明兩個矩陣矩逐項相等。

解法

令 $A = \begin{bmatrix} a_{i,j} \end{bmatrix}$ 且 $B = \begin{bmatrix} b_{i,j} \end{bmatrix}$。
令 $\bx_1,\ldots,\bx_m$ 分別為單位矩陣 $I_m$ 的各行向量；
而 $\by_1,\ldots,\by_n$ 分別為單位矩陣 $I_n$ 的各行向量。
可以得到
\(a_{i,j} = \bx_i\trans A\by_j = \bx_i\trans B\by_j = b_{i,j}.\) 這表示 $A$ 和 $B$ 逐項相等。