多項式空間中的內積

令 \(V\) 為以 \(\mathbb{R}\) 為純量的一向量空間，如果有一個函數 \(\inp{\cdot}{\cdot}: V\times V \rightarrow \mathbb{R}\) 滿足以下條件的話，則被稱為 \(V\) 上的一個 內積（inner product）：

  1. 雙線性（bilinear）：\(\inp{\bu + c\bv}{\bw} = \inp{\bu}{\bw} + c\inp{\bv}{\bw}\)
  2. 對稱（symmetric）：\(\inp{\bu}{\bv} = \inp{\bv}{\bu}\)
  3. 正定（positieve definite）：如果 \(\bu \neq 0\) 則 \(\inp{\bu}{\bu} > 0\)

同一個向量空間內可以搭配不同的內積，而內積直接影響兩向量是否垂直、以及每個向量的長度等性質。接下來我們以多項式空間為例來看看不同的內積。

所有 \(d\) 次以下的多項式可以形成一個向量空間 \(\mathcal{P}_d\)，其常用的基底為 \(\alpha = \{1, x, \ldots, x^d\}\)。在這個基底的觀點下，所有 \(\mathcal{P}_d\) 中的多項式

\[ p(x) = c_0 + c_1x + \cdots + c_dx^d \]

都可以看成一個向量

\[ [p]_\alpha = \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p(0) \\ \frac{1}{1!}p'(0) \\ \vdots \\ \frac{1}{d!}p^{(d)}(0) \end{bmatrix}. \]

自然而然我們可以定義內積為

\[ \inp{p}{q}_{\rm coef} = [q]_\alpha\trans[p]_\alpha \]

並驗證這個定義滿足內積的所有性質。

另一種常見的內積是藉由某幾點的函數值，我們可以定義

\[ \inp{p}{q}_{\rm eval} = p(0)q(0) + p(1)q(1) + \cdots + p(d)q(d) \]

並驗證它確實是一種內積。這時如果我們考慮 \(0,1,\ldots,d\) 所對應的拉格朗日基底 \(\beta = \{f_0, f_1, \ldots, f_d\}\)，其中

\[ f_i(x) = \frac{(x - 0) \cdots (x - (i-1)) (x - (i+1)) \cdots (x - d)}{(i - 0) \cdots (i - (i-1)) (i - (i+1)) \cdots (i - d)}, \]

則會發現 \(f_i(x)\) 在 \(x = i\) 的函數值為 \(1\) 而 \(x = 0, \ldots, i-1, i+1, d\) 時的函數值均為 \(0\)。這樣也讓我們得到我們熟悉的拉格朗日插值公式

\[ p(x) = p(0)f_0(x) + p(1)f_1(x) + \cdots + p(d)f_d(x). \]

以基底的觀點來看，就是

\[ [p]_\beta = \begin{bmatrix} p(0) \\ p(1) \\ \vdots \\ p(d) \end{bmatrix}. \]

因此我們得到類似的結果，我們找到一組基底 \(\beta\) 來描述我們的內積

\[ \inp{p}{q}_{\rm eval} = [q]_\beta\trans [p]_\beta. \]

如果我們堅持使用我們「常用」的那組基底 \(\alpha\) 的話，我們也可以定義一個以 \(\alpha\) 所形成格拉姆矩陣

\[ G = [\inp{x^j}{x^j}_{\rm eval}], \]

如此一來也能用 \(G\) 來描述內積

\[ \begin{aligned} \inp{p}{q}_{\rm eval} &= \inp{a_0 + a_1x + \cdots + a_dx^d}{b_0 + b_1x + \cdots + b_dx}_{\rm eval} \\ &= \sum_{i = 0}^d \sum_{j = 0}^d b_ia_j\inp{x^i}{x^j}_{\rm eval} \\ &= [q]_\alpha\trans G [p]_\alpha. \end{aligned} \]

實際上 \(\inp{\cdot}{\cdot}_{\rm eval}\) 中的 \(0, 1, \ldots, d\) 也可以換成任意的相異 \(d\) 個實數。

藉由以上觀察，我們發現有限維空間 \(V\) 上的內積 \(\inp{\cdot}{\cdot}\)，似乎都可以有兩種方便的表示法：

  1. 對給定的基底 \(\alpha\) 來說，找得到一個正定矩陣 \(G\) 使得 \(\inp{\bu}{\bv} = [\bv]_\alpha\trans G [\bu]\)。
  2. 可以找得一組基底 \(\beta\) 使得 \(\inp{\bu}{\bv} = [\bv]_\beta\trans [\bu]_\beta\)。

最後我們考慮一種把多項式視為「函數」的內積，方便起見我們以 \(d = 2\) 為例子：

\[ \inp{p}{q}_{\rm func} = \int_0^1 pq\,dx. \]

同樣地，我們可以依定義來驗證其為 \(\mathcal{P}_2\) 上的內積。令

\[ G = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \]

則也可以試試看 \(\inp{p}{q}_{\rm func} = [q]_\alpha\trans G[p]_\alpha\) 代入任何 \(p,q\in\mathbb{P}_2\) 時都是成立的。想想看我們有辦法找到 \(\mathcal{P}_2\) 的一組基底 \(\gamma\) 使得 \(\inp{p}{q}_{\rm func} = [q]_\gamma\trans [p]_\gamma\) 嗎？

想想以下問題：

  1. 檢查 \(\inp{p}{q}_{\rm coef1} = p(1)q(1) + \frac{1}{1!}p'(1)\frac{1}{1!}q'(1) + \cdots + \frac{1}{d!}p^{(d)}(1)\frac{1}{d!}q^{(d)}(1)\) 是否為 \(\mathcal{P}_d\) 上的內積。若是，找一組基底 \(\alpha_1\) 使得 \(\inp{p}{q} = [q]_{\alpha_1}\trans [p]_{\alpha_1}\)。
  2. 說明 \(\inp{\cdot}{\cdot}_{\rm func}\) 對應到 \(\alpha\) 時的格拉姆矩陣是怎麼算出來的。